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2005
/3
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・解答
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nは存在しない。
[証明]
仮にnが存在するとする。
分けられるグループをA,Bとする。
グループAの積 = グループBの積 となる。
グループAの積 = m とすれば、
1〜nの積 = グループAの積 * グループBの積 = m * m となる。
つまり、1〜nの積は数mの2乗。
m^2 を素因数分解すると、
α0 ^ ( 2 * p0 ) * α1 ^ ( 2 * p1 ) ... * αq ^ ( 2 * pq )
→ n! = m^2 ≡ 0 ( mod αq ^ 2 )
と表現できる（pxは1以上の整数。αxは素数。ただし、αx < αx+1）
ここで、αq( m^2の最大素因数 )について考える。
αq <= n であることは自明。（∵αq > n の場合、 m^2 ≡ 0 ( mod αq ) とはならない）
n! = m^2 ≡ 0 ( mod αq ^ 2 )なので、
2 * αq <= n
チェビシェフの定理(２以上の自然数ｎと, ２ｎの間に少なくとも一つ 素数が存在する)より、
αq 〜 2 * αq 間には、αq+1なる素数が存在することになり、
αq <= n, 2 * αq <= n より、αq+1 <= n
αqは最大素因数となりえないので、nは存在しえない。[Q.E.D]
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