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2005
/3
/9
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・一応解答
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１：静謐日記に書いてあるのでおおむね正解。
２：円錐の上からxの距離の面積は(r/h*x)2π。(r:半径 h:高さ)
ここで、この面積を高さdxの物体とすると、その積は(r/h*x)2πdx
積分して∫0→h(r/h*x)2πdx＝hr2π/3
３：同様に上からxの距離の面積はα*(x/h)2。(α:底面積 h:高さ)
ここで、この面積を高さdxの物体とすると、その体積はα*(x/h)2dx
積分して∫0→hα*(x/h)2dx＝hα/3
４：同様に中心からxの距離の面積は(x2-r2)π。(r:半径)
ここで、この面積を高さdxの物体とすると、その体積は(x2-r2)πdx
積分して∫-r→r(x2-r2)πdx＝4πr2/3
５はまだ秘密。
さて、僕は積分をさも当たり前のように使っていますが、
定理は一切使わない約束なので、
次はこれを証明しましょう。
１：∫f(x)dx = F(x) ならば、 dF(x)/dx = f(x)
２：F(x) = xn ならば、 dF(x)/dx = nxn-1
３：１，２より、f(x) = xn → F(x) = xn+1 / ( n + 1 ) + C(Cは積分定数)
１は、F( x + dx ) = ∫f(x)dx + f( x + dx )dx = F(x) + f( x + dx )dx
微分の定義より、dF(x)/dx = lim[ dx → 0 ] ( F( x + dx ) - F( x ) / dx )
= lim[ dx → 0 ] f( x + dx )dx / dx = lim[ dx → 0 ] f( x + dx ) = f( x )//
２も、微分の定義より、dF(x)/dx = lim[ dx → 0 ] ( F( x + dx ) - F( x ) / dx )
= lim[ dx → 0 ] ( ( x + dx )n - xn ) / dx
= lim[ dx → 0 ] ( xn + dx*nxn-1 + dx2g(x) - xn )/dx
= lim[ dx → 0 ] nxn-1 + dxg(x)
= nxn-1
３はなにも証明することなし。
一応はこれで全てつじつまがあうかな。
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