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2010
/4
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・皆殺しの數學
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今日は迂回している間に、
ファミ通を読み終えてしまったので、
伊坂幸太郎氏のオー！ファーザーを読み進める。
第一期伊坂幸太郎と銘打っているだけあって面白い。
二期は面白くないわけじゃないんですが、
伊坂幸太郎にそれは求めて無いんだよなあ。
っていう話が多い。あるキングとか、
は？ 何それ？ って感じだったし。
で、この小説にちょっとした数学が出て来たんですが、
ああ、この先数学の話なので、数学嫌いの人は帰っていいですよ。
って、昨日に引き続き、来客数を減らしにかかってるな自分（笑）。
まだ、その数式が出てきたところまでしか読んで無いので、
これが伏線かも解らないですし、
かなり序盤に日常会話として出てきたので、
ネタバレにはなっていないと思います。
問題は、
19n+(-1)n-124n-3(n=1,2,3...)
を全て割り切る素数を求めなさい。
というもので、
主人公は、n=1の時、上の式は21。
n=2の時、329で、両方とも割り切れる素数は7しかないから答えは７。
という答えを出します。
まあ、ここまでは私もそう解いたから良いんですが、
問題として、nが何であれ7で割り切れるという証明が必要だ。
という話になってくるわけです。
で、主人公は、
aP-aはPで割り切れることを利用すればいいんだ。
と言って、友人が納得して終わっちゃうんですが……
ちょっと待って欲しい。
aP-aはPで割り切れるなんて聞いたことが無いんですが……。
試してみましょう。
a=2 P=2の時 22-2=2≡0(mod2)
a=2 P=3の時 23-2=6≡0(mod3)
お？ 何か、正しい感じじゃないの？
a=2 P=4の時 24-4=14≡2(mod4)
……あれ？ 割り切れねえじゃないか！
というわけで、aP-aはPで割り切れないんで、
友人が何故納得したのか、
そして、主人公はどうやって解くつもりだったのか……
さっぱり解らないですね。
ちなみに、エレガントではないですが、
19n+(-1)n-124n-3(n=1,2,3...)
が7で割り切れることは証明できるので、それを記載しておきます。
ただ、もっときれいに解けると思うんですよね……。
これじゃ、中学生の解き方ですし。
19nにおいて、
n=1 の時、19n ≡ 5 ( mod 7 )
n=2 の時、19n ≡ 4 ( mod 7 )
n=3 の時、19n ≡ 6 ( mod 7 )
n=4 の時、19n ≡ 2 ( mod 7 )
n=5 の時、19n ≡ 3 ( mod 7 )
n=6 の時、19n ≡ 1 ( mod 7 )
より、
n=6m の時、19n ≡ 1 ( mod 7 )
n=6m + 1 の時、19n ≡ 5 ( mod 7 )
n=6m + 2 の時、19n ≡ 4 ( mod 7 )
n=6m + 3 の時、19n ≡ 6 ( mod 7 )
n=6m + 4 の時、19n ≡ 2 ( mod 7 )
n=6m + 5 の時、19n ≡ 3 ( mod 7 )
24n-3において、
nが1増加すると、24 = 16 ≡ 2 ( mod 7 )倍になる事を利用し、
n=1 の時、24n-3 ≡ 2 ( mod 7 )
n=2 の時、24n-3 ≡ 4 ( mod 7 )
n=3 の時、24n-3 ≡ 1 ( mod 7 )
より、
n=3m の時、24n-3 ≡ 1 ( mod 7 )
n=3m + 1 の時、24n-3 ≡ 2 ( mod 7 )
n=3m + 2 の時、24n-3 ≡ 4 ( mod 7 )
で、(-1)n-1は、nが奇数の時+に、nが偶数の時-にするということなので、
n=6m の時、 24n-3 ≡ 6 ( mod 7 )
n=6m + 1 の時、-24n-3 ≡ 2 ( mod 7 )
n=6m + 2 の時、 24n-3 ≡ 3 ( mod 7 )
n=6m + 3 の時、-24n-3 ≡ 1 ( mod 7 )
n=6m + 4 の時、 24n-3 ≡ 5 ( mod 7 )
n=6m + 5 の時、-24n-3 ≡ 4 ( mod 7 )
より、どのケースにおいても、
19n+(-1)n-124n-3 ≡ 0 ( mod 7 )
Q.E.D.
うーん、やっぱりもう少しきれいに解きたいなあ。
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